Mercoledì, 28 Luglio 2021

 

 Il capital asset pricing model (CAPM)

Il modello del CAPM è stato elaborato agli inizi degli anni ‘60 da tre studiosi americani: Sharpe, Lintner e Mossin. Le ipotesi semplificatrici alla base del modello sono:

  • perfetta trasparenza e concorrenza dei mercati;
  • l'infinita divisibilità degli investimenti;
  • la mancanza di: costi di intermediazione, oneri accessori, imposte societarie e personali;
  • la possibilità di vendere allo scoperto;
  • l'omogeneità delle aspettative degli investitori;
  • la possibilità di contrarre tutti gli investimenti sul mercato;
  • distribuzione normale dei rendimenti.

In termini di rischio le conclusioni a cui giunge il modello possono riassumersi nelle seguenti proposizioni:

  1. il rischio totale di un'impresa è scindibile in 2 componenti:
    1. il rischio specifico: è il rischio che deriva dall’attività caratteristica svolta dall’impresa. Tale tipologia di rischio è eliminabile mediante la diversificazione. ESEMPIO: il rischio associato al settore nel quale l’impresa opera, al rapporto d’indebitamento dell’impresa e alla struttura dei costi della stessa.
    2. il rischio sistematico: è il rischio legato all’andamento macroeconomico dell’economia e colpisce indistintamente tutte le imprese indipendentemente dal settore nel quale operano.
      ESEMPIO: l’aumento del tasso di interesse.
  2. in un processo di stima d'azienda il rischio specifico in quanto eliminabile mediante il processo di diversificazione può essere tralasciato;
  3. il rischio sistematico è misurabile mediante due indici: il coefficiente beta (β) e il premio per il rischio di mercato. In particolare:
    1. il coefficiente beta è pari a:

      Dove: RA rappresenta i rendimenti dell’impresa analizzata, Rm indica il rendimento del portafoglio di mercato (il portafoglio che include tutti i titoli del mercato), ossia il rendimento medio di tutti i titoli quotati.
      Tale coefficiente indica quanto il titolo (o il portafoglio di titoli) considerato è più rischioso del portafoglio di mercato.
    2. Il premio per il rischio è pari a:

      Dove i simboli assumono i significati noti. Quindi, il premio per il rischio azionario (o del mercato azionario) indica il premio aggiuntivo che, in media, un investitore richiede per investire in un titolo azionario piuttosto che in una attività priva di rischio (un titolo di Stato).

 

Adottando l’approccio del CAPM il premio per il rischio i2 sarà:

E, quindi, complessivamente il saggio di sconto sarà:

 

IL CALCOLO DEL PREMIO PER IL RISCHIO

Normalmente il premio per il rischio di mercato viene stimato rifacendosi ai dati storici, andando a calcolare la media (aritmetica o geometrica) delle differenze tra i rendimenti effettivi annuali del mercato azionario del paese considerato  - o di un indice rappresentativo del mercato azionario come, in America, lo S&P500 – e il saggio annuale pagato dai titoli di Stato dello stesso.

In realtà, afferma Damodaran, se tale approccio è applicabile negli USA dove vi è un mercato azionario grande e diversificato e dove, inoltre,  vi è ampia disponibilità di dati storici sia relativamente alle azioni che ai titoli di Stato, si possono ottenere delle stime errate nei paesi in via di sviluppo dove i dati storici a disposizione sono pochi e, a volte, imprecisi.

Tali considerazioni portano l’economista a elaborare delle metodologie alternative per determinare il premio per il rischio di mercato dei paesi emergenti. In particolare Damodaran suggerisce due diversi metodi in cui si parte sempre dal premio per il rischio di mercato americano.


I° METODOLOGIA: Al premio per il rischio di mercato americano si aggiunge il premio aggiuntivo che un investitore richiede per investire nel mercato azionario di un paese emergente piuttosto che in quello americano. Quindi:

Dove:

  • il primo membro dell'uguaglianza è il premio per il rischio di mercato del paese emergente;
  • il secondo membro dell'uguaglianza tra parentesi tonde è il premio per il rischio di mercato USA;
  • PRP è, appunto, il suddetto premio aggiuntivo che dipende da diverse variabili che contraddistinguono il paese considerato, come:
    • la stabilità politica;
    • la trasparenza del sistema legale;
    • la bontà dei rapporti internazionali;
    • il bilancio statale;
    • la stabilità della valuta del paese;

COME DETERMINARE IL PREMIO PER IL RISCHIO DI MERCATO?
Innanzitutto si stima il credit default swap del paese emergente analizzato. Il credit defaul swap è pari alla differenza tra il rendimento di un titolo di Stato del paese considerato e il saggio pagato da un titolo di Stato americano. Indica, quindi, il maggior premio richiesto dagli investitori per acquistare un titolo di Stato del paese in via di sviluppo analizzato piuttosto che un titolo di Stato USA. Tale quantità, si noti, non rappresenta quella ricercata: l’analisi, si ricorda, è volta a determinare il premio aggiuntivo richiesto dagli investitori per acquisire un titolo “azionario” (e non di Stato) del paese emergente considerato piuttosto che quello di una impresa americana. In realtà per ottenere tale valore basta moltiplicare il credit default swap così espresso per un indice in grado di tener conto della maggiore rischiosità del mercato azionario rispetto a quello obbligazionario. Se il rischio di un titolo – azionario o obbligazionario che sia - dipende dalla sua volatilità  il suddetto  indice matematicamente sarà pari a:

Complessivamente il premio per il rischio di mercato del paese emergente sarà:

Per cui il premio per il rischio del paese emergente sarà :

II° METODOLOGIA: In tal caso l’economista americano suggerisce ancora di rifarsi al premio per il rischio del mercato azionario americano che sarà rielaborato in maniera tale da tener conto della maggiore rischiosità del mercato azionario del paese emergente rispetto a quello americano. Dipendendo il rischio di un titolo azionario dalla sua volatilità il quanto un mercato estero è più rischioso di quello americano può esser espresso dalla relazione:

Detta volatilità relativa.  Per cui:

 

IL BETA: SIGNIFICATO E CALCOLO

Volendo porre attenzione al significato del coefficiente Beta. Tale indice indica quanto varia il prezzo di un titolo al variare del mercato, ovvero al variare del prezzo del portafoglio di mercato. A tal riguardo possiamo distinguere diverse ipotesi:

  • β>1 il titolo o il portafoglio di titoli amplifica i movimenti del mercato. Se la rischiosità di un titolo dipende dalla sua volatilità, ne deriviamo che il titolo (o il portafoglio di titoli) analizzato è più rischioso del portafoglio di mercato;
  • 0<β<1 il titolo o il portafoglio di titoli tende a muoversi nella stessa direzione del mercato ma con minore intensità. Quindi il titolo (o il portafoglio di titoli) è meno rischioso del portafoglio di mercato;
  • β=0 il titolo o il portafoglio di titoli sono indifferenti alle variazioni del mercato. Si tratta delle cosiddette attività prive di rischio. Infatti se il beta è pari a zero si ottiene:

    Che è appunto il premio richiesto per le attività prive di rischio.
  • β=1 il titolo o il portafoglio di titoli si muove con la stessa intensità e direzione del mercato. Quindi il titolo (o il portafoglio di titoli) coincide con portafoglio di mercato e quindi anche il suo rendimento dovrà essere uguale a quello di quest’ultimo. Se infatti il beta è pari a 1, si ottiene:

    Ossia il rendimento dell’intero mercato.

 

COME CALCOLARE TALE INDICE?

Matematicamente come si è visto tale indice è pari a:

Dove: RA rappresenta i rendimenti dell’impresa analizzata, Rm indica i rendimenti del portafoglio di mercato (il portafoglio che include tutti i titoli del mercato). Normalmente, però, non potendo considerare il rendimento di tutto il portafoglio di mercato si considera quello di un indice di mercato come, negli USA, lo S&P500 o il MIB.

Le critiche mosse al calcolo del Beta pervengono da diversi ambiti. La più rilevante, espressa anche da Damodaran, deriva dal fatto che rappresenta una approssimazione del mercato considerando esclusivamente il mercato azionario e non altri mercati come quello immobiliare, dei quadri,  dell’oro ecc.. Lo stesso Damodaran afferma che tale approssimazione può esser ragionevole negli USA dove il mercato azionario è grande e ben diversificato ma probabilmente non è realistica in altri paesi come quelli emergenti o quelli dove le imprese quotate sono poche, ad esempio l’Italia.

In ogni caso, per le aziende quotate presso le borse valori esistono diverse pubblicazioni specializzate che ne riportano i valori del beta (i cosiddetti beta book). Lo stesso Damodaran pubblica periodicamente i Beta per settore di attività nel mercato statunitense.

Maggiori difficoltà si hanno nel caso delle imprese non quotate. Per ovviare a tale difficoltà in genere si approssima il valore del beta dell’azienda analizzata con quello medio di un campione di imprese quotate operanti nel medesimo settore di quella oggetto di valutazione. Tale beta è detto “levered di mercato” in quanto si suppone esprima la rischiosità media del settore nel quale l’impresa opera, il quale avrà come componenti:

  1. il rischio operativo medio del settore.
  2. il rischio finanziario medio del settore.

A tal riguardo, se è ragionevole ipotizzare che l’azienda non quotata abbia un rischio operativo simile a quello medio del settore, altrettanto non può dirsi per il rischio finanziario nel caso in cui il rapporto di indebitamento dell’azienda si discosti da quello medio del settore. Ecco allora che laddove vi sia uno scostamento tra i due tassi di indebitamento è necessario correggere il beta medio calcolato. In particolare si dovrà:

  • depurare il beta medio delle aziende campionarie (beta levered del mercato) del rischio finanziario medio ad esse relativo ottenendo così il beta unlevered o beta operativo;
  • aumentare il beta operativo del rischio finanziario specifico dell’’azienda oggetto di valutazione. In questo modo si ottiene il beta levered dell’impresa non quotata.

Per effettuare questi passaggi può essere utile utilizzare la nota formula di Hamada, per cui:

Che permette di scorporare dal rischio medio campionario quello finanziario, ottenendo così il rischio operativo medio del settore. Ipotizzando che l’impresa abbia un rischio operativo coincidente con quello medio del settore, il complessivo rischio d’impresa, indicato dal beta levered d’azienda, si otterrà aggiungendo al rischio operativo medio precedentemente ottenuto quello finanziario dell’impresa mediante la formula:

Dove complessivamente: βU è il beta unlevered o operativo; βL è il beta levered; (D/E)c è il valore di mercato del leverage del campione; (D/E)A è il valore di mercato del leverage aziendale; t è l’aliquota fiscale societaria.

ESEMPIO: Si vuol determinare il beta unlevered di una impresa (gamma) non quotata sul mercato che opera nel settore manifatturiero.
Al tal fine si considerano tre diverse imprese: A, B e C. Tutte quotate sul mercato:

Il grado di indebitamento dell’impresa gamma è del 1,2%

Rifacendosi alle formule di Hamada, il:


LA MEDIA È: 0,63 che rappresenterà il beta unlevered dell’impresa gamma.
A questo punto andremo ad aggiungere al beta unlevered dell’impresa gamma il rischio finanziario della stessa che, come noto, dipenderà dal suo grado di indebitamento, per cui:


Si noti come l’impresa gamma presenta un elevato beta levered. Ciò è dovuto dall’elevato tasso di indebitamento.


I BETA PROSPETTICI

Il calcolo del Beta mediante i dati storici è soggetta a molte critiche. Tra le più rilevanti:

  • la soggettività delle stime: chi effettua l’analisi nel selezionare i dati storici da considerare dovrà scegliere se considerare le quotazioni giornaliere, mensili o annuali di un determinato titolo o indice di mercato. In genere la dottrina ritiene che si debba evitare di utilizzare le quotazioni giornaliere se si ritiene che queste sono scambiate poco sul mercato. Normalmente si opta per le quotazioni mensili.
    Inoltre sempre il perito indipendente dovrà determinare l’arco temporale  a cui rifarsi per reperire i dati storici. Anche qui la dottrina suggerisce di non considerare periodi troppo ampi se l’azienda molto tempo fa era molto diversa da come si presenta attualmente. ESEMPIO: Apple. Tale azienda quando è nata aveva un prezzo molto volatile e quindi appariva come rischiosa, oggi non è più così.
  • Il fatto che la valutazione d’azienda è un processo rivolto al futuro e non al passato. Si intende stimare, infatti, il valore dell’impresa tenendo conto della sua capacità oggi di generare redditi futuri e non di capire quale è stata la sua capacità passata. 
    Tali considerazioni hanno spinto molti studiosi a ideare dei modelli per stimare il valore del beta non considerando esclusivamente i dati storici. Il beta così stimato è detto prospettico.

Uno dei contributi più rilevanti per la stima dei beta prospettici è stato fornito senza dubbio da Blume, negli anni 70 ha suddiviso il mercato azionario americano in 8 portafogli in base al coefficiente beta dei titoli quotati. Quindi, in ognuno degli 8 portafogli vi erano imprese con il medesimo beta. In particolare il portafoglio 1 comprendeva le imprese con il beta più basso, l’8 quelle con il beta più alto.

Osservando le variazioni del beta che i singoli portafogli  registravano tra un periodo e il seguente Blume trova un algoritmo secondo lui in grado di spiegare di quanto varia il beta da un periodo al successivo:


La società Bloomberg per determinare il beta prospettico ha elaborato un modello che si rifà completamente alla logica suggerita da Blume, l’unica differenza sono i coefficienti della formula, per cui:

 

I BETA CONTABILI (ACCOUNTING BETA)

Un ulteriore metodo elaborato per calcolare i beta è quello basato sui dati contabili. Tale metodo è detto Accounting Beta. In particolare il beta dell’impresa oggetto di valutazione sarà:

Problemi sorgono sia nel calcolo del ROE dell’impresa che in quello di mercato.

In particolare, il ROE di mercato deve esser stimato tenendo conto sia delle imprese quotate che di quelle non quotate. Per questo motivo spesso in Italia ci si rifà ai valori resi disponibili da Mediobanca che ogni anno considera 2.022 imprese operanti in diversi settori per creare uno Stato Patrimoniale e un Conto Economico “aggregato”. Da tali prospetti è possibile stimare il reddito netto medio delle imprese italiane, il valore medio del patrimonio netto e, quindi, il ROE di mercato, ossia il ROE medio delle imprese italiane.
Per quanto riguarda il ROE dell’impresa generalmente non si considera il ROE dell’ultimo anno ma una media costruita sulla base dei dati storici. Di qui il problema: se si considera un arco temporale molto ampio si rischia di includere nella media valori del ROE registrati quando l’impresa era molto diversa da quella attuale (si supponga ad esempio che l’impresa sia stata oggetto di una scissione o fusione); viceversa se si considera un arco temporale poco ampio si rischio di dare troppo peso ai dati recenti che potrebbero esser stati influenzati da una particolare fase del ciclo economico e che quindi non rispecchiano il reale potenziale dell’impresa.

 

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