Venerdì, 18 Giugno 2021

 

Il costo del capitale: il metodo attuariale

Il metodo attuariale stima il premio per il rischio passando per il calcolo del merito creditizio dell’impresa oggetto di valutazione Segnatamente, secondo il modello proposto il costo del capitale dipende da due grandezze:

  1. la probabilità di fallimento o default;
  2. il tasso di recupero o recovery rate.

 

La probabilità di fallimento

La probabilità di fallimento indica il numero di imprese fallite rispetto a quelle considerate in un certo arco temporale. Tale probabilità, in genere, è stimata dalle società di rating, prime fra tutte Moody’s e Standard & Poor, che inizialmente classificano le aziende analizzate attribuendogli un voto di merito che va da AAA per le aziende più meritevoli a C per le imprese più rischiose:

Successivamente, a ogni classe di rischio è attribuita una probabilità di fallimento (default) cumulata riguardante la vita residua, t.

Tali probabilità sono stimate considerando le imprese fallite in un determinato arco temporale (la tabella sopra è riferita al periodo 1983-2010 ed è stata scaricata direttamente dal sito di Moody's) rispetto al totale delle imprese analizzate nello stesso periodo. Così, ad esempio, si è calcolato che l’1,2% delle imprese che nel 1983 avevano ricevuto un giudizio di rating Baa1 sono fallite entro cinque anni (ossia entro il 1988). Evidentemente una misurazione del genere è influenzata dai cicli economici che hanno caratterizzato l’economia nel periodo considerato. La probabilità di default indicata nelle tabelle fornite dalle agenzie di rating è, si ribadisce, una probabilità cumulata indicante la probabilità di default di una azienda entro un cero arco temporale t. Da tale probabilità è possibile desumere:

  • la probabilità di fallimento non condizionata (Pd,t, non cond);
  • la probabilità di fallimento condizionata (Pd,t, cond);
  • la probabilità di default “normalizzata”, ossia depurata dall’effetto dei cicli economici (Pd, t, norm), che è quella di maggior interesse per noi.

 

La probabilità di fallimento non condizionata esprime la probabilità che l’azienda fallisca al tempo t (e non entro il tempo t) sapendo che al tempo zero ha ricevuto un determinato giudizio di rating. Tale probabilità è pari a:

Dove:

  • P(d,t,non cond) indica la probabilità che l’impresa fallisca al tempo t;
  • P(d,t) indica la probabilità che l’impresa fallisca entro il tempo t;
  • P(d,t-1) indica la probabilità che l’impresa fallisca entro il tempo t-1.

ESEMPIO: Nel caso di rating Baa1 la probabilità di fallimento non condizionata per il 2° anno è pari a:

Vi è una probabilità del 0,234% che l’impresa fallisca il secondo anno

La stima della probabilità di fallimento condizionata richiede prima di calcolare la probabilità di sopravvivenza all’anno t. Matematicamente tale probabilità può esser calcolata come:

Dove:

  • P(S,t,non cond ) indica la probabilità di sopravvivenza non condizionata al tempo t;
  • P(d,t) indica la probabilità cumulata che l’impresa fallisca entro il tempo t.

ESEMPIO: Nel caso di rating Baa1, la probabilità di sopravvivenza non condizionata per il 1° anno è:

Una volta calcolata la probabilità di sopravvivenza non condizionata e quella di fallimento, può esser calcolata la probabilità di default condizionata che esprime la probabilità che l’insolvenza si verifichi nell’anno t sapendo che fino all’anno t -1 l’impresa non è fallita. Quest’ultima sarà pari matematicamente a:

 

ESEMPIO: Nel caso del rating Ba, la probabilità di insolvenza condizionata per il 2° anno è:

Una ulteriore accezione di probabilità di default è quella “normalizzata” utilizzata per depurare la probabilità di default dall’influenza dei cicli economici. Sarò questa la accezione di probabilità a cui faremo maggiormente riferimento ed trova il proprio fondamento nella seguente equazione:

ESEMPIO:
Si consideri una impresa che ha un rating pari a Aaa. La probabilità che fallisca al primo anno è 0. La probabilità che la stessa azienda fallisca al 20° anno è 2,328%. La probabilità normalizzata sarà:


Tale valore differisce dalla probabilità puntuale a un anno che era dello 0%.

 

Il tasso di recupero

Secondo uno studio della Banca D’Italia mediamente in Italia un creditore, in caso di default dell’impresa in cui ha investito, riesce a recuperare solo il 30% del capitale dato a prestito. Tale tasso è detto recovery rate o tasso di recupero. Il complemento a 1 del recovery rate è detto  LOSS General Default e, evidentemente, rappresenta quella parte del capitale dato in prestito che il creditore non riesce a recuperare in caso di fallimento dell’impresa.

QUALI VALORI INFLUENZANO IL RECOVERY RATE?

Evidentemente le garanzie che sono poste a fronte dell’investimento. Si consideri, a tal riguardo, come l’esistenza di una garanzia non sempre garantisce il pieno recupero del proprio investimento se anche i beni o le ricchezze poste a garanzia sono soggette a variazioni di valore.

Un esempio emblematico è stato offerto da ciò che è successo nell’ultima crisi finanziaria. Molti cittadini avevano posto come garanzia del proprio mutuo gli stessi immobili che avrebbero acquistato tramite l’accensione del finanziamento. Il crollo del mercato immobiliare durante la crisi ha abbassato di molto il tasso di recupero delle Banche che avevano accettato tali forme di garanzia, fino ad allora ritenute le migliori garanzie possibili, dato che il mercato immobiliare negli ultimi anni era cresciuto a tassi rilevanti (infatti si trattava di una bolla).

 

Il funzionamento del metodo attuariale

Chiarite quali sono le grandezze in campo andiamo a vedere come funziona il metodo attuariale.

A tal riguardo, poniamoci nell’ottica di un creditore dell’impresa che, per semplicità di calcolo, si ipotizza essere neutrale al rischio: un soggetto è neutrale al rischio se è indifferente tra ricevere una somma certa pari a X o una distribuzione di probabilità di entrate con valore atteso pari proprio a X.

In quanto creditore dell’impresa, infine, il soggetto analizzato qualora l’impresa fallisca avrà un diritto di prelazione che sin da subito ipotizziamo permetterà a quest’ultimo di recuperare il 30% del proprio investimento.
Presupposto ciò, essendo il soggetto neutrale al rischio sarà indifferente tra l’avere un reddito certo pari a (1 + i1), ossia tra l’investire in titoli privi di rischio, e utilizzare la propria ricchezza per comprare obbligazioni di una azienda che ha una probabilità pari a Pd di fallire, garantendo così un rendimento pari a Pd*(1-LGD), e probabilità (1 – Pd) di sopravvivere garantendo così un rendimento pari a (1-Pd)*(1+id). Naturalmente ciò presuppone che il valore atteso dell’investimento in obbligazioni sia esattamente pari a (1 + i1). In formule:

Conoscendo i1, LGD e Pd è possibile determinare il tasso id che il creditore richiederà per concedere il prestito. Una volta ottenuto id è possibile altresì calcolare il premio per il rischio di credito come:


In alternativa, conoscendo i1, LGD e id è possibile determinare Pd.
Ponendoci ora nell’ottica dell’azionista. Quest’ultimo, rappresentando la proprietà, qualora l’impresa fallisca non riuscirà a ottenere nulla dalla liquidazione della stessa, per cui LGD=1. Allo stesso modo nella formula il tasso richiesto nel caso di sopravvivenza dell’azienda non sarà id bensì ic, ossia il tasso di congrua remunerazione ben più elevato del precedente. Per cui:

Essendo LGD = 1

Supponiamo di conoscere i1 e Pd derivato dalle tavole di una agenzia di rating:

Per completezza, si rileva che se fossero noti ic e i1 si potrebbe determinare la probabilità di default dell'azienda e, quindi, rifacendosi alla tavole di Moody's, il rating dell'azienda.

 

La probabilità di default nel caso delle aziende quotate

Normalmente le agenzie di rating esprimono dei giudizi di rating esclusivamente sulle società quotate.

E se l’azienda oggetto di valutazione non è quotata? In tal caso si utilizzano delle metodologie alternative, tra cui spicca lo Zeta-score di Altman.

Tale indice è stato ideato da Altman il quale negli anni 60 si cimenta in una ricerca volta a capire  quali indicatori di bilancio discriminano le aziende migliori da quelle che falliscono. La sua ricerca lo porta a considerare inizialmente 5 diversi indicatori:

 

che misura la quantità risorse liquide a disposizione dell’impresa rispetto al totale delle attività (una sorta di indice di elasticità solo che al denominatore non vi è l’attivo corrente ma l’attivo circolante netto pari alla differenza tra attività e passività correnti);

che indica la redditività dell’impresa;

anch’esso è un indice della redditività aziendale;

indica quella parte delle attività totali coperte con il capitale di proprietà dell’azienda;

 

è il cosiddetto ROS

Una volta individuati i suddetti indicatori, Altman attribuisce ad ognuno essi un peso in base al loro grado di rilevanza per la sopravvivenza dell’impresa. In particolare pone:

Per cui se:

  • Z < 1,81 l’impresa si trova nella zona di insolvenza, ossia presenta una probabilità di fallimento alta;
  • 1,81 < Z < 2,99 l’impresa si trova nella zona grigia, ossia presenta una probabilità di fallimento nella media (medio-bassa se il valore di Z è vicino a 2,99 e medio alta se è vicino a 1,81);
  • Z > 2,99 l’impresa presenta una probabilità di fallimento bassa

Negli anni ‘80 lo stesso Altman raffina la sua ricerca e propone un secondo modello. In quest’ultimo tra i diversi indicatori considerati non compare più il ROS, per cui:

Inoltre, il risultato ottenuto viene parametrato con un US Equivalente Rating attraverso il quale è possibile stimare la probabilità di fallimento dell’impresa.

Ad esempio, qualora il modello il modello Z-score 2 dia come risultato un valore pari a 7,4 questo corrisponderà a un rating AA di standard & Poor che, a sua volta, equivale a un Aa2 di Moody's, la cui probabilità di default normalizzata è 0,12% (calcolata in precedenza).
US equivalent rating Z-Score US equivalent rating Z-Score.

 

 La stima della probabilità di default a partire da indicatori di bilancio

Un approccio alternativo allo Zeta-score di Altman è quello di stimare la probabilità di default di una impresa non quotata a partire dall'indice di copertura degli oneri finanziari:

Tanto più è elevato tale indice quanto più l’impresa è solvibile. L'utilizzo di tale metodo, come lo Zeta-score, prevede la parametrizzazione del risultato ottenuto al fine di stabilire il rating dell'azienda oggetto di esame. Segnatamente:

Pertanto, sulla base della precedente tabella, se l’ICOF è maggiore di 12,5 l’impresa avrà un rating pari a AAA. Le imprese appartenenti a tale classe di rischio hanno, nell’arco di 5 anni, una probabilità di fallire pari al 0,086% (vedasi tabella Moody's).

 

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